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第294398号 2006年数学竞赛专题讲座(共33讲)[下学期] 新人教版 |
| 运行环境： word |
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文件大小： 2617288 |
教案等级： ★★★★★
附加点：0
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教案类别：
授课教案
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添加时间： 2006-7-6 18:11:00
更新时间： 2006-7-7 10:33:00
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教案语言：
简体中文
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| 上传人：
normalsd
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授权方式：
别处引用
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审查人： zhyingg
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第一讲 整除性理论及其应用
一. 基本概念和性质.
1. 整除:设a,b是两个整数,且b 0,如果存在一个整数q,使等式a=bq成立,那么我们
称a能被b整除或b整除a,记作b︱a,其性质有(设b 0,c=0)
1).若b︱a , a 0,则
2) 若b︱a, a︱b ,a 0,则a=b或b=a
3) 若c︱b, b︱a, 则c︱a
4) 若b︱a, 则cb︱ca
5) 若c︱a, c︱b,则c︱ma+nb,m,n Z
2. 整除的基本定理:对于任意整数a,b(b 0,),存在唯一的一对整数q,r,使得a=qb+r,0 r＜b
其中,q和r分别称为b除a 的商和余数.
3. 最大公约数和最小公倍数: a,b的最小公倍数记为[a,b],a,b的最大公约数记为(a,b) ,其性质有:
1).设m为正整数,则(am,bm)=m(a,b) [am,bm]=m[a,b]
2)设a,b是两个正整数,则(a,b)[a,b]=ab
3)设a,b,c是三个正整数,则(ab,bd,ac)[a,b,c]=abc
4)设正整数k是整数a,b的公倍数,则(k/a,k/b)=k/[a,b]
5)设正整数c是a,b的公约数,则(a/c,b/c)=(a,b)/c
6)若(a,b)=1, (ab,c)=(a,c)(b,c)
7)若a1, a2, …an,是n个不全为零的整数,则(a1, a2, …an)=( (a1, a2, …ak), (ak+1, ak+2, …an))
4. 两个定理:
1) 欧拉函数: 设整数n 2,n= , ,… ,是n的质因数分解式，以 （n）表示小于n且与n互质的自然数的个数，则 （n）=
2)勒让得定理:在乘积n！中，质因数p的指数为p(n!)=
二. 例题选讲.
1. 设 ,求证： ︱f(n)
2. 设p为奇质数,证明: 的分子a是p的倍数
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